Probabilidad total y fórmula de bayes

Supongamos que un conjunto S es la unión de los subconjuntos mutuamente disjuntos A1 , A2 ,…An , y supongamos que E es cualquier subconjunto de S. Entonces, como se muestra en la Figura 3.12 para el caso de que n = 3,

E = E I S = E I ( A1 U A2 U … U An )  (E I A1 ) U (E I A2 ) U … U (E I An )

Los n subconjuntos de la parte derecha de la ecuación anterior son también mutuamente independientes.

Ahora supongamos que S es un espacio muestral y que los subconjuntos anteriores A1 , A2 ,…An , E son sucesos, Como E I Ak es disjunto. Obtenemos que

Usando el teorema de la multiplicación para la probabilidad condicionada también obtenemos que

Con lo que llegamos al siguiente teorema:

Teorema 3.13. (probabilidad total). Sea E un suceso del espacio muestral S y sean A1 , A2 ,…An , sucesos mutuamente disjuntos cuya unión es S. Entonces

La ecuación del Teorema 3.13 se llama ley de la probabilidad total. Observemos que los conjuntos A1 , A2 ,…An , son disjuntos entre sí y su unión es S. Es decir, las A forman una partición de S.

Una fábrica usa tres máquinas X, Y, Z para producir ciertos objetos. Supongamos:

1. Que la máquina X produce el 50% de los objetos, de los cuales un 3% son defectuosos.
2. Que la máquina Y produce el 30% de los sucesos, de los cuales el 4% son defectuosos.
3. Que la máquina Z produce el 20% de los objetos, de los cuales el 5% son defectuosos

Hallar la probabilidad p de que escogiendo un objeto al azar, éste sea defectuoso. Por la ley de la probabilidad total,

Fuente: Apuntes de Probabilidad y Estadística de la UNIDEG