Determinación de soluciones básicas

La forma estándar de PL incluye m ecuaciones lineales simultaneas en n incógnitas o variables (m < n). Dividimos las variables n en dos series: (1) n – m variables, a las cuales les asignamos valores cero y (2) las restantes m variables, cuyos valores se determinan resolviendo las m ecuaciones resultantes. Si las m ecuaciones producen una solución única,entonces las m variables asociadas se llaman variables básicas y las n – m restantes variables se conocen como variables no básicas. En este caso, la solución única resultante incluye una solución básica. Si todas las variables asumen valores no negativos, entonces la solución básica es factible. De lo contrario, es no factible.

Ejemplo 3.2-2. Considere la siguiente serie de dos ecuaciones con cinco incógnitas (m = 2, n = 5). x₁+ x₂+4x₃+2x₄+3x₅=8

4x₁ + 2x₂ + 2x₃ + x₄ + 6x₅ = 4

Identifique una solución básica factible, una solución básica no factible y combinaciones de variables que no producen soluciones básicas.

El numero máximo de soluciones básicas posibles es ₃⁵_!2^!_! = 10 . Posteriormente, mostramos que algunas de estas combinaciones quizás no produzcan ninguna solución básica.

Por definición, una solución básica solo puede incluir dos (= m) variables, lo que significa que el numero asociado de variables no básicas cero debe ser tres (= n – m).

Caso 1. Solución básica factible

Cero variables (no básicas) (x ₂, x₄, x₅) Ecuaciones:

x₁ + 4x₃ = 8

4x₁ + 2x₃ = 4

solución: única con x₁ = 0, x₃ = 2.

Situación: solución básica factible debido a que las variables básicas  x₁  y  x₃ ,son >- 0.

Caso 2. solución básica no factible

Cero variables (no básicas): (x₃, x_4i x₅) Ecuaciones:

x₁ + x₂  = 8

4x₁ + 2x₂  = 4

solución: única con x₁  = -6, x₂  = 14

Situación: solución básica no factible debido a que x₁ < 0.

Caso 3. Infinidad de soluciones

Cero variables (no básicas) (x ₁, x_2i x₅) Ecuaciones:

4x₃ + 2x₄ = 8

2x₃ + x₄ = 4

solución: No hay una solución única porque las soluciones son dependientes (si usted divide la primera ecuación entre 2, obtendrá la segunda ec uación)

Situación: Infinidad de soluciones.

Caso 4. solución inexistente

Cero variables (no básicas): (x ₁, x_{3 ,}x₄)

Ecuaciones:

x₂ + 3x₅ = 8 2x₂+6x₅=4

solución: No existe una solución porque las ecuaciones son inconsistentes. Situación: solución inexistente.

Fuente: Apuntes de Investigación de operaciones de la UNIDEG