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Rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el Siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

Introducción
La teoría de conjuntos fue creada por George Cantor, aunque George Boole dio los primeros pasos en su libro Investigations of the Laws of Thought.

El concepto de infinito fue tratado por Zenón de Elea y sus célebres paradojas.

Bolzano defendió el concepto de conjunto infinito. Bolzano dio ejemplos de como los elementos de un conjunto infinito podían ponerse en correspondencia 1-1 con elementos de sus propios subconjuntos. Cantor publicó varios artículos entre 1867 y 1871 sobre teoría de números de gran calidad pero nada indicaba que su autor cambiaría el curso de la matemática.

En 1872 Cantor viajó a Suiza y allí conoció a Dedekind. Se hicieron amigos y se cree que Dedekind influyó en las ideas de Cantor.

Cantor empezó a trabajar en series trigonométricas y aquí aparecen las primeras ideas sobre teoría de conjuntos. En 1874 publicó un artículo en la revista de Crelle que marca el nacimiento de la teoría de conjuntos. En este artículo Cantor consideraba dos clases diferentes de infinitos (hasta entonces se consideraba que todos los infinitos tenían el mismo tamaño) los que se podían poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (los que se podían numerar) y los que no se podía.

Cantor demostró que los números reales algebraicos se podían poner en correspondencia uno a uno con los números naturales pero que esto no se podía hacer con los números reales (que incluyen, además de los reales algebraicos los transcendentes).

En 1878 Cantor envió otro artículo a la revista pero la Teoría de conjuntos era una materia muy discutida, especialmente por Kronecker, que pertenecía al equipo editor de la revista. Intentaron que Cantor retirase el artículo pero Dedekind convenció a Cantor para que no lo hiciese y Weierstrass respaldó la publicación. El artículo fue publicado pero Cantor no volvió a enviar más artículos a la revista de Crelle. En este artículo Cantor introduce la idea de equivalencia de conjuntos (dos conjuntos son equivalentes, o tienen la misma potencia, si se pueden poner en correspondencia 1 a 1).

En 1897 se publica la primera paradoja de la teoría de conjuntos (el ordinal del conjunto de todos los ordinales debe ser un ordinal y esto es una contradicción). En 1899 Cantor descubre otra paradoja (¿Cual es el cardinal del conjunto de todos los conjuntos?) . La última paradoja fue encontrada por Russell y Zermelo en 1902 (Si A = {X|X no es miembro de X}, ¿A es elemento de A?) La paradoja de Russell minaba el edificio de las matemáticas. Russell junto con Whitehead intentó fundamentar las matemáticas en la lógica en Principia Mathematica. Este trabajo tuvo una gran influencia en las matemáticas.

A pesar de las paradojas, la Teoría de Conjuntos empezó a influir en otras áreas de las matemáticas. Lebesgue la utilizó en su integral

El primer intento de axiomatizar la Teoría de Conjuntos la hizo Zermelo en 1908. Después lo intentaron Fraenkel, von Neumann, Bernays y Gödel. Gödel mostró las limitaciones de cualquier teoría axiomática.

Pinceladas históricas
En el último cuarto del Siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de las matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica.

Primero, George Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos.

Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas.

Según la definición de conjunto de Cantor, éste es "una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto". Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar.

En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual.

Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría matemática dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas. Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte de la lógica de predicados.

En esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos permitiría por un lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser completamente expresada en un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden.

En los capítulos que siguen se presenta primero la teoría intuitiva de conjuntos, basada en la original de Cantor, para seguir con sus problemas de inconsistencia y la solución axiomática final como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

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