Teoría intuitiva de conjuntos
La selva de Cantor
La definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. Igual que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un predicado (la colección de objetos que satisface el predicado). Esta idea sencilla y tan intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes contradicciones de inmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell. Para poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que, aparte de los símbolos para los conjuntos y sus elementos (x, C, etc.), tendrá los símbolos de pertenencia ∈ e igualdad = (de los objetos del lenguaje formal). Que x es un elemento del conjunto C se expresa “x pertenece a C” o bien x ∈ C. Que x no es un elemento de C se expresa “x no pertenece a C” (x /∈ C). Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos y con minúsculas a sus elementos, ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de otro conjunto e incluso podemos considerar que en nuestra teoría no hay objetos que no sean conjuntos. ¿Cómo se determina una colección? Listar los objetos. De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda definido si es posible describir completamente sus elementos. El procedimiento más sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, se llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {a, b, c}. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos
a, b y c. B = {⊕,ª, ⊗,®, ¯}. Donde B es el conjunto formado exactamente por esos cinco círculos. Entonces es cierto que b ∈ A y que b / ∈ B. El inconveniente para este método de listado o enumeración de los elementos del conjunto es que éstos deben poseer un número finito de elementos y, en la práctica, un número muy pequeño ¿Qué hacer cuando la colección es infinita, o cuando es finita pero numerosa? Describir los objetos. Cuando el número de elementos del conjunto es in- finito (como el de los número impares) o demasiado numeroso (como el de todas las palabras que pueden formarse con el alfabeto latino) se utiliza el método de definición por intensión, que consiste en la descripción de un conjunto como la extensión de un predicado, esto es, mediante una o varias propiedades (el predicado) que caracterizan a los elementos de ese conjunto. En principio podría tomarse cualquier lengua natural para describir los objetos (español, inglés, italiano, vasco, catalán, etc), sin embargo es preferible utilizar un lenguaje formal que ofrezca rigor y precisión. Dicho lenguaje debe ser suficientemente rico; esto es, lo suficientemente expresivo como para poder describir todas las colecciones matemáticas. Pero también lo suficientemente restrictivo como para limitarse a sólo las colecciones de objetos matemáticos. Para expresar predicados utilizaremos el lenguaje formal de la la lógica de predicados de primer orden (el lenguaje de la lógica de proposiciones con los símbolos lógicos de las conectivas , ∨, ∧, →, ↔ más los cuantificadores universal ∀ y existencial ∃) al que se añade variables, igualdad y el relator binario de pertenencia. Este lenguaje puede ser ampliado con los símbolos propios de las operaciones, relaciones o funciones del lenguaje específico de teoría de conjuntos. En la primera parte, al presentar la Teoría básica de conjuntos, utilizaremos con frecuencia el lenguaje natural para describir propiedades. Estas propiedades pueden ser aritméticas (<, ≤, /, etc.) o matemáticas en general, pero también pueden ser propiedades expresadas en lenguaje natural (nombres, verbos,...) que describan colecciones no estrictamente matemáticas. Ejemplo: C = {x ∈ ω/ 0 < x < 230000 ∧ 2/x}, donde ω es el conjunto de los números naturales con la ordenación habitual, < significa “menor que” y 2/x significa que “2 divide a x”. D = {x/ x es una palabra de 2 letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas)} E = {x/ P2(x) ∨ P3(x) ∨ • • • ∨ P10(x)} . Donde Pi(x) significa “x es una palabra de i letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas). Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.
Problemas en la teoría intuitiva de conjuntos: la paradoja de Russell
Pero la definición intuitiva de conjunto como el de una colección de objetos ‘describible’ por un predicado conduce inevitablemente a ciertas contradicciones que se llaman paradojas, la más célebre es la conocida como paradoja de Russell: Consideremos el conjunto A = {x : x /∈ x}, descrito mediante el predicado del lenguaje formal x /∈ x . Obviamente, para cualquier B, B ∈ A si y sólo si B /∈ B. Es decir, está en A cuando verifica las condiciones que definen a A. Pero, ¿qué sucede con el propio A? Evidentemente, A ∈ A si y sólo si A /∈ A. Pero este resultado es contradictorio. En vano se debe intentar descubrir un error en el razonamiento, más bien parece que el problema proviene de admitir expresiones como A ∈ A (o conjuntos como el conjunto de todos los conjuntos que produce también paradojas). Se ha visto claramente que el concepto de conjunto no es tan sencillo y que identificarlo sin mayor investigación con el de colección resulta problemático. Para evitar la paradoja de Russell, y otras de esta naturaleza, es necesario tener más cuidado en la definición de conjunto, lo veremos en lo que sigue. Otras paradojas, de hecho las primeras en descubrirse, afectaban a colecciones grandes, como por ejemplo la de los ordinales, o la de todos los conjuntos. Estas colecciones no podrán ser conjuntos.
Solución de las paradojas
Una solución radical al problema de las paradojas es la propuesta en 1903 por Russell, su Teoría de Tipos. Observa que en todas las paradojas conocidas hay una componente de reflexividad, de circularidad. Técnicamente se evitan las paradojas al eliminar del lenguaje las formaciones circulares. Se reconoce que nuestro universo matemático no es plano, sino jerarquizado, por niveles, y que el lenguaje más adecuado para hablar de un universo ?? debe tener diversos tipos de variables que correspondan a cada nivel; en particular, la relación de pertenencia se dá entre objetos de distinto nivel. En 1908 Zermelo da como solución la definición axiomática de la Teoría de Conjuntos, refinada más tarde por Fraenkel, Skolem, von Neumann y otros. En esta teoría se evita que las colecciones que llevaban a las paradojas puedan ser conjuntos. De hecho, en la solución de Zermelo-Fraenkel, una colección de objetos será un conjunto si los axiomas la respaldan. Dichos axiomas permiten formar conjuntos a partir de conjuntos previamente construídos y postulan la existencia del ∅ y de al menos un conjunto infinito. Sin embargo, en la solución de von Neumann se admiten colecciones que no son conjuntos, las denominadas clases últimas. Se definen clases mediante propiedades, sin restricción, pero habrá que mostrar que se trata de conjuntos viendo que pertenecen a alguna clase. Las clases últimas, como la clase universal o la de los ordinales, no pertenecen a ninguna otra clase.
El Universo matemático
La idea intuitivamente más fructífera y también la más extendida es que nuestro universo matemático, -esto es, el que contiene todas las colecciones de objetos matemáticos, pero solamente los objetos matemáticos- constituye una jerarquía de conjuntos, la denominada Jerarquía de Zermelo.
En la construcción de los conjuntos que formarán la jerarquía se parte de una colección inicial M0 de objetos dados y a continuación se construye una colección M1 de conjuntos de elementos de M0, después una colección M2 de conjuntos de objetos de M0 y M1, etc.
Para proporcionar mayor precisión debemos responder a las preguntas siguientes:
¿Cúal será nuestra colección de partida, M0?
¿Qué conjuntos de objetos de niveles inferiores se toman para formar nuevos niveles en la jerarquía?
¿Hasta dónde se extiende esta jerarquía?.
Para responder a la primera pregunta debemos considerar si nos interesa tomar objetos que no sean conjuntos o si nos basta con partir de un primer nivel que sea sencillamente el conjunto ∅. Está claro que se toman sólo objetos matemáticos, pero habrá que ver que es suficiente y que podremos finalmente contar en la jerarquía con todos los objetos matemáticos.
Una respuesta a la segunda pregunta que parece razonable es, al ir tomando nuevos conjuntos, que éstos se puedan describir con nuestro lenguaje. Al tomar esta opción formamos la Jerarquía de conjuntos constructibles. Otra posibilidad es tomar como objetos de un nuevo nivel a todos los posibles. Veremos que esta es la opción de Zermelo.
Finalmente, la tercera de las preguntas es hasta donde se extiende la jerarquía. La respuesta es que la jerarquía de conjuntos no tiene fin, siempre se pueden construir nuevos niveles.
Para precisar un poco más esta imagen intuitiva de nuestro Universo matemático es conveniente contar con algunas nociones de teoría de conjuntos básica.
Teoría axiomática de conjuntos
Recordemos los componentes de una teoría axiomática:
El lenguaje o símbolos formales de la teoría.
Los axiomas, que son proposiciones acerca de los objetos de la teoría y
que imponen el funcionamiento de dichos objetos.
Los teoremas, que son todas las proposiciones demostrables con herramientas
lógicas a partir de los axiomas.
En la teoría de conjuntos axiomática de Zermelo Fraenkel se usará el [[lenguaje formal]] de la lógica de predicados de primer orden. Las variables de dicho lenguaje formal se referirán a conjuntos; es decir, en la interpretación usual todos los objetos son conjuntos. Es decir, existir será sinónimo de ser un conjunto. El lenguaje básico sólo tiene el relator binario de pertenencia, pero se extiende, mediante definiciones pertinentes, para dar cabida a operaciones.
Los conceptos primitivos de esta teoría son el de conjunto y el de pertenencia. En realidad la mayoría de los axiomas sirven para garantizar la existencia de los conjuntos que nos interesa tener. Por ello la idea de construcción es esencial en la teoría axiomática de Zermelo Fraenkel.
En la teoría axiomática de conjuntos se respeta la idea fundamental de aceptar que una colección de objetos pueda ser un conjunto, pero se impone la condición de que todos los objetos de una colección deben haberse formado antes de definir dicha colección, y de esta manera se evitarán los problemas que conducen a las paradojas. Uno de los axiomas de la teoría (se verá más adelante) impondrá esta restricción: "Si X es un conjunto ya construido existe un conjunto Y formado por los elementos de X que satisfacen un predicado P que los describe (o lo que es lo mismo, una fórmula con al menos una variable libre)". Así un predicado describirá un conjunto sólo si los objetos han sido ya construidos (son de otro conjunto X) y además satisfacen el predicado.
Con esta restricción a la definición de conjunto de Cantor desaparece la paradoja de Rusell ya que para que A = {x : x /∈ x} sea un conjunto se debería tener un conjunto X a partir del cual construirse; es decir, A = {x ∈ X : x /∈ x}. ¿Cómo se resuelve la paradoja? Al construirse a partir de un conjunto ya construido desaparece el problema. Ahora, para cualquier B se verifica: B ∈ A si y sólo si B ∈ X y B /∈ B. En realidad, puesto que la condición B /∈ B la cumplen todos, A será el propio X. Además, es imposible que exista el conjunto de todos los conjuntos.
Los teoremas de Zermelo Fraenkel se derivan de los axiomas, pero para que tengan interés deben mediar definiciones de conceptos y operaciones nuevas. Aunque en principio podría usarse un cálculo deductivo de primer orden, en la práctica resulta desaconsejable pues en él cualquier demostración se alargaría en exceso.
Axiomatización de la Teoría de Conjuntos
La Teoría de Conjuntos fue creada en un estadio semiintuitivo. La aparición de algunas paradojas hizo imprescindible su formalización axiomática.
En toda axiomatización de la Teoría de Conjuntos se necesita, por lo menos, un axioma o regla que nos permita discernir en qué condiciones varios conjuntos son el mismo conjunto, es decir, que nos permita extender, hacer una extensión, del concepto de conjunto, así como otro axioma que nos permita definir tipos de conjuntos, es decir, se necesita también, básicamente, un axioma que podríamos llamar formador de conjuntos.
La primera axiomatización apareció ya en el año 1908, con los siete axiomas de Zermelo (Berlin 1871-Friburgo 1953).
La existencia de algunos conjuntos no quedaba garantizada con los siete axiomas propuestos por Zermelo, por lo que, en 1922, Fraenkel (Munich 1891-Jerusalen 1965) propuso añadir un octavo axioma: el axioma de sustitución.
En 1925 Von Neumann (Budapest 1903- Washington -1957) presentó un sistema axiomático que representaba un avance sobre el sistema Z-F, pues admitía las clases universales (de todos los conjuntos, de todos los ordinales, de todos los cardinales,), no estudiadas en el sistema Z-F. El concepto primario utilizado por Von Neumann fue el de función y no el de conjunto o clase. La "traducción" del sistema formulado por Neumann de forma que el concepto primario sea el de clase y elemento de clase, y no el de función, se debe a Bernays (Londres 1988- 1980).
Los trabajos de Bernays dieron rigor a la axiomática de la teoría, junto con las puntualizaciones de Gödel (Brünn 1906 – Princeton 1978) y de Quine. Lo que se expone a continuación se podría denominar algo así como Sistema Axiomático N-B-G-Q (Sistema Axiomático Neumann-Bernays- Gödel-Quine).
El axioma de extensionalidad
El axioma formador de clases
El axioma del par no ordenado
El axioma de regularidad
El axioma de la gran unión
El axioma del conjunto vacío
El axioma de sustitución
El axioma de infinitud
El axioma de elección
El axioma de las partes de un conjunto
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