Zips del Conocimiento - Caos y Fractales

No se trata de pronosticar ningún cataclismo universal. La teoría del caos vislumbrada por Poincaré a fines de siglo XIX y ahora en pleno auge a partir de los estudios del meteorologista Lorenz en 1963, nace como solución de problemas de dinámica no lineal en la Física. Se trata de estudiar la evolución de una magnitud con el tiempo. Tenemos comportamiento caótico cuando la solución oscila con el tiempo de una manera irregular. Dicho de otro modo, cuando la solución de un sistema determinístico se muestra a grandes tiempos en forma aperiódica e imprevisible y además posee una gran sensibilidad a las condiciones iníciales. En la teoría simple de atmósfera de Lorenz esto quiere decir que es intrínsecamente imposible hacer un pronóstico meteorológico, digamos para dentro de un mes. Esta teoría de la dinámica no lineal (la suma de soluciones no es solución) desborda el ámbito de la Física y se aplica a otras magnitudes que varían caprichosamente con el tiempo, como ser la población anual de un tipo de insectos, la aparición aperiódica de epidemias, los terremotos, la arritmia del corazón, el mercado de acciones, etc. Como no siempre el caos es deseable, desde 1990 se estudia "el control" del caos. Es decir los mecanismos necesarios para eliminar el caos. Decíamos que el caos también posee una alta sensibilidad a las condiciones iníciales. Es decir en un sistema no caótico como la trayectoria de una pelota de fútbol una pequeña diferencia entre dos puntapiés producirán tiros similares. Cuando tenemos caos, una pequeña diferencia al principio se agrandará exponencialmente en el futuro, matemáticamente se dice que el exponente es un número positivo (exponente de Liapunov) multiplicado por el tiempo.

Volviendo al ejemplo meteorológico, la alta sensibilidad a las condiciones iníciales se ejemplifica con el llamado "efecto mariposa". De dos mariposas que aletean en Buenos Aires, una puede no producir nada y la otra provocar un huracán en el Caribe.

Otra de las propiedades a destacar es que se trata de caos "determinístico", no se trata de ruido, sino de soluciones escarpadas de una o varias ecuaciones bien concretas y que determinan la evolución. Tampoco hay que pensar que solo dan caos las ecuaciones complicadas sino que se han encontrado algunas muy simples con esa propiedad, como es la ecuación logística: Xn+1=a(Xn - [Xn]2) Tomamos X0 y sacamos X1, lo reingresamos en la fórmula y sale X2 y así sucesivamente. Probar con 0
Por último la solución que varía de forma tan "arbitraria" se dice que entra en un atractor extraño, cuyas propiedades geométricas son las de un "fractal".

Un fractal podría ejemplificarse como una foto donde hay una persona que tiene en su mano una foto, donde aparece la misma persona con una foto...y así indefinidamente. Es decir un fractal tiene estructura a escalas arbitrariamente pequeñas, es autosimilar y su dimensión no siempre es un entero. Esto último significa que un objeto de dimensión 1 como un segmento de recta puede transformarse en el fractal de Cantor si lo dividimos en tres y le suprimimos el tercio central, luego con los dos segmentos que quedan vuelvo a suprimir el tercio central y así sucesivamente hasta el infinito. El resultado puede calcularse con una nueva forma de definir "dimensión" y tiene dimensión 0.63 (esto da una idea de lo "agujereado" que quedó el segmento, casi pulverizado). El fractal de Cantor tiene una dimensión entre 0 (el punto) y 1 (la recta).

Pueden generarse fractales usando unas sencillas fórmulas recursivas en una PC y obtener lindas formas geométricas semejantes a los árboles, las nubes o la costa irregular de una isla. La geometría que estudiamos en la escuela: esferas, cubos, conos, ... no puede representar cosas irregulares que son las que realmente muestra la naturaleza como el sistema de vasos sanguíneos y sus capilares, los fractales si.

Dr Juan Ignacio Casaubon
Doctor en Física - UBA - Argentina
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